今回のテーマは、
「欠陥の数とチップの大きさから、歩留まりをどう見積もるのか」
答え：欠陥がでたらめに落ちると考えると、欠陥が1つもないチップの割合は、おおよそ「e の −(面積×欠陥密度) 乗」で見積もれます。面積が大きいほど、欠陥が多いほど、歩留まりは下がります。
この記事でわかること
- ① なぜモデルが要るか
- ② ランダムに落ちる欠陥
- ③ ポアソンモデルの式
- ④ 現実とのずれ
- ⑤ 要因を掛け算する
※各節の「くわしく見る」は、計算で確かめたい人向けです。
① なぜモデルが要るのか：まだ工場にないものの歩留まりを見積もる
大事なポイント：歩留まりモデルは、欠陥の数やチップの大きさから、歩留まりを事前に見積もるための考え方です。
第2講で、欠陥密度（1cm²あたりの致命的な欠陥の数）を学びました。では、欠陥密度が分かったとき、歩留まりは何%になるのでしょうか。実際につくって確かめることもできますが、つくってからでは遅い場面があります。
たとえば、新しいチップの設計では、面積を大きくすると機能は増やせますが、歩留まりは下がります。どこまで大きくしてよいかは、つくる前に見積もる必要があります。また、工場では、「欠陥密度をここまで下げれば、目標の歩留まりに届く」という目標を決めたいときにも使います。
このような、欠陥と歩留まりの関係を式で表したものが歩留まりモデルです。参考にした大学の講義資料には、ポアソン、マーフィー、シーズなど、いくつかのモデルが紹介されています。この講では、いちばん基本のポアソンモデルを、簡単な形で学びます。モデルは、現実を単純にした見積もりの道具です。正確な予言ではなく、目安を得るために使います。
確認クイズ：歩留まりモデルは、どんな場面で役に立ちますか。
答え：チップの面積の決め方や、目標の欠陥密度の決め方のように、つくる前に歩留まりを見積もる場面です。
② 欠陥がランダムに落ちる：雨粒とタイルのたとえ
大事なポイント：欠陥がでたらめに落ちると考えると、欠陥が1つもないチップの割合を、簡単な式で表せます。
タイルの床に、雨粒がでたらめに落ちる様子を考えてください。タイル1枚が、チップ1個にあたります。粒が1つでも落ちたタイルは不良、1つも落ちなかったタイルは良品です。
図の例では、40枚のタイルに、30個の粒を落としました。1枚あたりの平均は 30 ÷ 40 ＝ 0.75個です。粒が1つもないタイルは、21枚（52%）でした。平均が0.75個なのに、良品が約半分になるのは、粒が重なって同じタイルに落ちることがあるからです。
こうした「でたらめに、お互い関係なく落ちる」ばらつきは、ポアソン分布という数学で表せます。この分布では、1つのタイルに落ちる粒の平均がλ個のとき、粒が1つもない確率は e の −λ 乗 と書けます。eは、約2.718という決まった数です（ここでは、「e の −λ乗は、λが大きいほど小さくなる数」と考えれば十分です）。
主な値は次のとおりです（電卓で計算した値）。
- 平均0.1個 → e の −0.1乗 ≒ 0.905（約90%）
- 平均0.5個 → 約0.607（約61%）
- 平均1個 → 約0.368（約37%）
- 平均2個 → 約0.135（約14%）
平均が1個でも、良品が約37%も残ります。平均の欠陥数が増えるほど、良品の割合は急に下がります。
確認クイズ：1チップあたり、平均0.5個の欠陥が落ちる場合、欠陥が1つもないチップの割合はおよそ何%ですか。
答え：約61%です（e の −0.5乗 ≒ 0.607）。
③ ポアソンモデルの式：面積と欠陥密度から歩留まりへ
大事なポイント：歩留まりは、おおよそ Y ＝ e の −(A×D) 乗 で見積もれます。Aはチップの面積、Dは欠陥密度です。
前の節のλは、チップ1個あたりの欠陥の平均個数でした。第2講で学んだとおり、これは「チップの面積A × 欠陥密度D」です。したがって、歩留まりYは、次の式で見積もれます。
Y ≒ e−(A×D)
単位は、Aがcm²、Dが個/cm²です。掛けると「個」になります。たとえば、面積1cm²、欠陥密度0.1個/cm²なら、A×D ＝ 0.1 で、Y ≒ 0.905、約90%です。面積が2cm²になると、A×D ＝ 0.2 で、Y ≒ 0.819、約82%です。0.5cm²なら、A×D ＝ 0.05 で、Y ≒ 0.951、約95%です。
欠陥密度を0.5個/cm²に上げて、面積1cm²のチップを考えると、Y ≒ 0.607（約61%）に下がります。図の曲線は、この式をグラフにしたものです。チップの面積が大きいほど、欠陥密度が高いほど、歩留まりは下がります。この式は、前の講の「大きいチップは不利」を、数字で表したものです。
なお、この式は、「欠陥はでたらめに落ちる」「落ちた欠陥はすべて致命的」など、いくつもの仮定のうえに成り立つ、厳密でない見積もりです。参考にした資料にも、ポアソンモデルの仮定として、欠陥が点であること、すべての欠陥が不良を起こすこと、欠陥の位置に関連がないことが書かれています。
確認クイズ：面積1.5cm²のチップを、欠陥密度0.2個/cm²でつくるとき、歩留まりの見積もりはおよそ何%ですか。
答え：A×D ＝ 1.5 × 0.2 ＝ 0.3 で、e の −0.3乗 ≒ 0.741。約74%です。
くわしく見る：目標の歩留まりから、必要な欠陥密度を逆算する
面積1cm²のチップで、歩留まり90%を目指すとします。0.90 ＝ e−D を満たすDを求めます。両辺の自然対数をとると、D ＝ −ln(0.90) ＝ 0.105 です。つまり、欠陥密度を約0.1個/cm²以下にする必要があります。
面積が2cm²のチップで歩留まり80%を目指すなら、A×D ＝ −ln(0.80) ＝ 0.223 で、D ＝ 0.223 ÷ 2 ＝ 0.112個/cm² です。面積が2倍なら、同じ欠陥密度では歩留まりは平方（0.905² ＝ 0.819）になるので、それを避けるには、欠陥密度を下げるしかありません。
④ 現実とのずれ：欠陥は集まりやすい
大事なポイント：ポアソンモデルは、欠陥がばらばらに落ちる前提です。現実の欠陥は集まりやすく、式とずれます。
実際のウェハでは、欠陥は、ウェハ全体に均等に落ちるわけではありません。ある装置の不調で特定の場所に集中する、ウェハの端に多い、などの偏りがあります。これを欠陥のクラスタリング（集まること）といいます。
図の左右は、どちらも欠陥が30個です。左のようにばらばらに落ちると、良品のマスは20個ですが、右のように集まると、24個に増えます。同じ欠陥の数でも、集まった方が、不良のチップが少なくなります。欠陥が少数のチップに集中して、そのチップだけを不良として捨てれば、他のチップは無事だからです。
そのため、ポアソンモデルは、大きなチップの歩留まりを低めに見積もる傾向があります。1964年にはすでに、大きな面積のチップでは実際よりかなり悲観的な値になると分かっていたと、ロシアの研究者らの論文（Russian Microelectronics 誌、2003年）に書かれています。この偏りを補うために、欠陥密度そのものがウェハごとにばらつくと考えたモデルがあります。マーフィーのモデル、シーズのモデル、負の二項分布を使うモデルなどです。業界団体のロードマップにも、ランダムな欠陥による歩留まりは、負の二項分布の式で表すことが多いと書かれています。この式には、欠陥の集まりやすさを表す数（クラスタ係数）が入っていて、集まりが弱いほどポアソンモデルに近づきます。MITの講義資料にも同じ説明があります。式は目安です。実際の歩留まりとは、ずれます。
▶ 2級でくわしく：マーフィー、シーズ、負の二項分布のモデルと、集まり方を表す数。
確認クイズ：欠陥の数が同じなら、欠陥が集まった方が、不良のチップは多いですか、少ないですか。
答え：少なくなります。少数のチップに欠陥が集中するためです。
⑤ ランダムな要因と系統的な要因を掛ける
大事なポイント：歩留まりは、偶然の欠陥による部分と、毎回起こる要因による部分の、掛け算で考えます。
第2講で、不良の原因を「ランダムなもの（粒など）」と「系統的なもの（毎回同じ場所に出る形の問題や、規格を外れるばらつき）」に分けました。ポアソンモデルは、このうち、ランダムな欠陥だけを表した式です。
業界団体のロードマップでは、歩留まり全体を、系統的な要因による歩留まり Ysys と、ランダムな要因による歩留まり Yrandom の積として表します。
Y ＝ Ysys × Yrandom
たとえば、系統的な要因だけなら95%、ランダムな欠陥だけなら85%とします。全体は、0.95 × 0.85 ＝ 0.8075、約81%です。どちらかが低いと、全体も下がります。
この区別は、実際の改善で役に立ちます。新しい製品を立ち上げる時期は、系統的な要因が歩留まりを強く抑えることが多く、ロードマップにもそう書かれています。そのため、粒を減らすより先に、回路の形や条件を直す必要があります。反対に、成熟した製品では、ランダムな欠陥の削減が中心になります。原因の種類によって、先に直すものが変わります。この考え方は、第5講の歩留まり向上の進め方で使います。
確認クイズ：系統的な要因による歩留まりが90%、ランダムな要因による歩留まりが80%のとき、全体の歩留まりはいくつですか。
答え：0.90 × 0.80 ＝ 0.72 で、72%です。
この講のまとめ
ポアソンモデルは、欠陥がばらばらに落ちるとして、歩留まりを Y ≒ e の −(面積×欠陥密度) 乗 で見積もります。
チップの面積が大きいほど、欠陥密度が高いほど、歩留まりは下がります。ただし式は目安で、欠陥が集まると、現実とずれます。
全体の歩留まりは、系統的な要因とランダムな要因の歩留まりの積です。
ことばのおさらい
- 歩留まりモデル：欠陥の数やチップの面積から、歩留まりを見積もる式の考え方です。
- ポアソンモデル：欠陥がでたらめに、独立に落ちると考えるモデルです。
- 欠陥密度D：1cm²あたりの致命的な欠陥の数です。
- クラスタリング：欠陥が一部に集まることです。
- 系統的な要因／ランダムな要因：毎回同じように起きる原因と、偶然に起きる原因です。
よくある誤解
Q. ポアソンモデルの式で、歩留まりを正確に予言できますか。
いいえ。単純な仮定の見積もりです。欠陥が集まる場合や、欠陥が致命的でない場合は、ずれます。
Q. チップの面積を半分にすると、歩留まりはちょうど2倍になりますか。
いいえ。歩留まりは100%を超えられず、式でも面積は指数の中にあります。たとえば、欠陥密度0.1個/cm²なら、2cm²で約82%、1cm²で約90%です。
参考にした公式情報
- MIT OpenCourseWare「Control of Manufacturing Processes」 Lecture 10: Yield Modeling（ポアソンモデルの仮定、マーフィー・シーズ・負の二項分布のモデル、クラスタ係数が大きいとポアソンに近づくこと、チップ面積と歩留まりの関係。式の部分は画像で、式そのものは別の資料で確認しました）
- Bogdanov ほか「Statistical Yield Modeling for IC Manufacture: Hierarchical Fault Distributions」(Russian Microelectronics 32(1), 2003 の著者公開版)（Y＝e のマイナスλ乗の導出、ポアソンが大きなチップで悲観的になること、欠陥が集まる理由）
- 国際半導体技術ロードマップ（ITRS）2005年版「Yield Enhancement」（歩留まりを系統的な部分とランダムな部分の積で表すこと、負の二項分布の式とクラスタ係数、立ち上げ期は系統的な要因が制約になること、価格が下がる環境での早い立ち上げ）
- Wikipedia「Yield (semiconductor)」（歩留まりモデルの種類（ポアソン、マーフィー、シーズなど））
e の −λ乗の値、面積と欠陥密度の組み合わせ（1cm²・0.1個/cm²など）、系統的95%・ランダム85%などは、理解のために置いた仮の値と、一般的な数学による計算です。ポアソンモデルは仮定の多い簡易の見積もりで、厳密ではありません。式の中のチップ面積は、厳密には欠陥が致命的になる面積(臨界面積)を使うべきところを、簡単にするためチップ全体の面積にしています。図は、記事用に描いた簡易の図で、粒の位置は乱数で置いています。
